M es un subconjunto de {1,2,3,…,15} que cumple que el producto de cualesquiera tres elementos distintos no es un cuadrado perfecto. ¿Cuántos elementos como máximo tendrá M?
Participa mandando tu respuesta a través de Facebook.
Solución
Nótese que nunca pueden estar juntos los elementos {1,4,9}, {2,6,12}. {3,5,15} y {7,8,14}. este hecho implica que como máximo M no puede tener más de 11 elementos (tenemos que quitar un elemento de cada subconjunto).
Si 10 no estuviese en M, entonces M tendría como máximo 10 elementos y estaría ya probado.
¿Qué ocurre si 10 pertenece a M? Los subconjuntos {2,5} y {6,15} no estarían en M, además de {1,4,9} y {7,8,14} . Si {3,12} no estuviese contenido en M, de nuevo, se puede deducir que el número de elementos de M no supera a 10.
Supongamos que {3,12} está en M, esto nos lleva a que los siguientes subconjuntos no podrian estar en M: {1}.{4},{9}.{2,6},{5,15} y {7,8,14}, lo que supone que M no tendría más de 9 elementos. En cualquier caso, nunca pasa de 10.
Un ejemplo de M sería {1,4,5,6,7,10,11,12,13,14}