Una mesa redonda se encuentra en la esquina de una habitación rectangular de un pisito modesto, arrimada a sus paredes. En un punto del borde de la mesa hay una mosca que se encuentra a 80 cm de una pared y a 90 cm de la otra. ¿Cuánto mide el diámetro de la mesa?
SOLUCIÓN
Al estar la mosca en el borde de la mesa, cumple la ecuación de una circunferencia de centro C=(a,b) y radio r.
Es decir (x-a)2+(y-b)2=r2.
Además, como la mesa está en la esquina, el centro de la circunferencia es C=(r,r).
Como la mosca se encuentra a 80 cm de una pared y a 90 cm de otra, tenemos que x=90 e y=80.
La ecuación queda de la siguiente forma: (90-r)2+(80-r)2=r2
Hacemos operaciones y calculamos el valor de r: 8100-180r+r2+6400-160r+r2=r2; r2 -340r + 14500 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado y tenemos que r vale 290 ó 50. Como el piso es modesto, el radio de la mesa vale 50 cm, con lo que tenemos que el diámetros es 2·50=100 cm, es decir 1 metro.
Si no se conoce la ecuación de la circunferencia, se puede llegar a ella por Geometría elemental.
En la figura adjunta, tenemos que CT=r=AY, y que CT´=r=BX.
Por otro lado, tenemos que PY=90 y que PX=80.
El triángulo PAC es un triángulo rectángulo, por lo que cumple el Teorema de Pitágoras, es decir PA2+AC2=PC2 .
Como PA=PY-AY=90-r y AC=PB=PX-BX=80-r, tenemos que (90-r)2+(80-r)2=r2 .
[notice class=»notice»]Fuente: IES El Majuelo (Gines) Sevilla.[/notice]