Alejandro, Borja, Nacho y Gonzalo eligen sucesivamente, en este orden, una carta de una baraja española de 40 cartas, tras mirarla la devuelven a la baraja antes de que el siguiente elija otra. Gana el primero que saque espadas. ¿Cuáles son las probabilidades de cada uno de ganar?
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Solución
La probabilidad de que gane Borja pasa por ver todas las posibles situaciones que se pueden dar. Podría pasar que Borja ganase nada más sacar la primera carta o que perdiesen todos en la primera ronda y Borja ganase al comenzar la segunda, o que todos perdiesen las tres primeras rondas y Borja ganase la cuarta y así hasta el infinito. Sabemos que la probabilidad de sacar espadas es 1/4 y la de no sacarla, 3/4.
Por tanto, la probabilidad de que gane Borja es:
{tex}\frac{1}{4}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{4}\cdot \frac{1}{4}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{8}\cdot \frac{1}{4}+\cdots=\frac{\frac{1}{4}}{1-\left ( \frac{3}{4} \right )^{4}}=\frac{64}{175}{/tex}
Esta suma infinita no es más que la suma infinita de los términos de una progresión geométrica de razón (3/4)4.
De forma análoga se obtienen el resto de probabilidades.
La probabilidad de que gane Nacho es:
{tex}\left ( \frac{3}{4} \right )\cdot \frac{1}{4}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{5}\cdot \frac{1}{4}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{9}\cdot \frac{1}{4}+\cdots=\frac{3}{4}\cdot \frac{\frac{1}{4}}{1-\left ( \frac{3}{4} \right )^{4}}=\frac{48}{175}{/tex}
pues para que gane Nacho en primera ronda debe perder antes Borja o para que gane en segunda ronda deben perder todos en primera y Borja en segundo y así hasta el infinito.
Análogamente, las probabilidades de que ganen Nacho y Gonzalo son 
y 
, respectivamente.