¿Cuántas personas han de estar reunidas para poder asegurar que la probabilidad de que entre ellas se encuentren dos que celebren el mismo día su cumpleaños sea 1/2?
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Solución
Supongamos reunidas n personas.
Definimos el suceso Hi=»La persona i tenga su día de cumpleaños en día diferente a las personas i+1 hasta n», con i=1,2,3,…n-1.</p> <p>Entonces</p> <p>{tex}p=P(H_{1}\cap H_{2}…\cap H_{n} )={/tex}</p> <p>{tex}P(H_{1})\cdot P(H_{2}/H_{1}) \cdot P(H_{3}/H_{1}\cap\cdot H_{2}) \cdots P(H_{n}/H_{1}\cap\cdots H_{n-1}){/tex}</p> <p>{tex}p=\left (\frac{365-1}{365} \right )^{n-1} \cdot \left (\frac{365-2}{365-1} \right )^{n-2} \cdots \left (\frac{365-(n-1)}{365-(n-2)} \right )^{1} {/tex}</p> <p>Hay que hallar n tal que {tex}p\leq \frac{1}{2}{/tex}</p> <p>Usando la expresión anterior, aprovechando que cada factor de p es mayor que el siguiente, el n buscado cumple que</p> <p>{tex}\left (\frac{364}{365} \right )^{n-1} \cdot \left (\frac{364}{365} \right )^{n-2} \cdots \left (\frac{364}{365} \right )^{1} \leq \frac{1}{2} {/tex}</p> <p>Sumando las potencias quedaría</p> <p>{tex}\left ( \frac{364}{365} \right )^{\frac{n\cdot (n-1) }{2}}{/tex}</p> <p>Aplicando logaritmos neperianos</p> <p>{tex}\frac{n \cdot (n-1)}{2}\ln \left (\frac{364}{365} \right ) \leq \ln\left ( \frac{1}{2} \right ){/tex}</p> <p>{tex}n\cdot (n-1)\geq 505.303978{/tex}</p> <p>Por lo que n debe ser mayor o igual que 23.</p> <p>Faltaría ver si realmente es el valor mínimo buscado, ya que en un principio establecimos una cota. Para ello, se debe usar la expresión de «p» y probar con n=22. Se puede comprobar que supera a 1/2.