Determina todos los pares (m,n) de enteros positivos que cumplen que {tex}\frac{n^3+1}{mn-1}{/tex} es un entero
[highlight class=»green»]Solución[/highlight]
Advertimos que mn-1 y m3 son primos entre sí.
Esto nos permite afirmar que:
mn-1 divide a n3+1 sí y solo si mn-1 divide a
m3(n3+1)=m3n3-1+m3+1=(mn-1)(m2n2+mn+1)+m3+1.
Por tanto, mn-1 debe dividir de forma exacta a m3+1.
- Si m=n, tenemos que {tex}\frac{n^3+1}{n^2-1}=n+\frac{1}{n^2-1}{/tex}. Esta expresión es un entero siempre que n sea igual a 2.
- Si m>n.
Si n=1, {tex}\frac{2}{m-1}{/tex} es un entero sólo cuando m=2 ó 3.
Si n>2, n3+1 al ser dividido por n da resto 1, mientras que mn-1 al dividirlo por n da resto -1.
Esto implica que {tex}\frac{n^3+1}{mn-1}{/tex} al ser dividido por n da resto -1, algo que se cumplen por ser ambos números primos entre sí. Es decir, {tex}\frac{n^3+1}{mn-1}=kn-1{/tex} con k un número entero positivo.
Tenemos que {tex}kn-1<\frac{n^3+1}{n^2-1}=n+\frac{1}{n-1}{/tex}, es decir,{tex}kn-n<1+\frac{1}{n-1}{/tex}
Entonces {tex}k=1{/tex},
{tex}n^3+1=(mn-1)(n-1){/tex}, lo cual origina si despejamos m que {tex}m=\frac{n^2+1}{n-1}=n+1+\frac{2}{n-1}{/tex}, expresión que es entera positiva sólo si n=2 ó 3, en cuyo caso m=5.
Resumiendo, obtenemos nueve soluciones: (2,2),(2,1),(3,1),(5,2),(5,3),(1,2),(1,3),(2,5),(3,5). Hemos obtenido las cuatro últimas por simetría