Category Archives: Secundaria y Bachillerato

Mínima distancia

Problema enviado por nuestro amigo Félix Gudiel:

Un cuadrado de lado 1 se divide en a bandas iguales, mediante a-1 líneas rojas paralelas a uno de los lados. De igual modo se divide el cuadrado en b bandas iguales, mediante b-1 líneas verdes paralelas a ellas. Si a no divide a b y b  no divide a a, ¿cuál es la menor distancia entre una línea roja y una verde?

Solución

En el problema de las bandas, las a-1 líneas rojas están en los puntos 1/a, 2/a, ..., a-1/a, mientras que las verdes están en 1/b, ..., b-1/b.

Si a y b no son primos entre sí, hay (al menos) dos líneas que coinciden, a la altura 1/d, donde d es el m.c.d.(a,b).
Si a y b son primos entre sí la distancia mínima es 1/a*b, y se alcanza entre las líneas i/a y j/b, verificandose que |b*i-a*j| = 1, que tiene solución i.

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