1024

¿De cuántas maneras se puede escribir 1024 como producto de tres enteros positivos?

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Solución

Tenemos que 1024=2¹⁰. Necesitamos una descomposición de la forma 2¹⁰=2^a·2^b·2^c. Es decir soluciones enteras de a+b+c=10 con a≥0, b≥0, c≥0.

El teorema de De Moivre nos dice que si n es un entero positivo, el número de soluciones enteras positivas de x₁+x₂+ … +x_r=n es {tex}\binom{n-1}{r-1}{/tex}

Un corolario de este teorema nos dice que si n es un entero positivo, el número de soluciones enteras no negativas de y₁+y₂+ … +y_r=n es {tex} \binom{n+r-1}{r-1} {/tex}.

Aplicando este corolario a nuestro problema, tenemos que 1024 se puede escribir como producto de tres enteros positivos de 66 formas distintas, ya que el número de soluciones enteras no negativas de a+b+c=10 son {tex}\binom{10+3-1}{3-1}=\binom{12}{2}=66 {/tex}.