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Problema 4: Caminos

Caminos 1

Se tiene la siguiente estructura:

Caminos 1

 

De un punto a otro se consideran los caminos siguiendo la dirección de las flechas. Observa que de A a B1 hay un solo camino y que de a A a C1 hay dos caminos: AC1  y AB1C1.
a) Describe todos los caminos que hay de A a B2.
b) ¿Cuántos caminos hay de A a B3?
    Incrementamos el número de flechas de la estructura hasta obtener la siguiente:

Caminos 2

c) Piensa una estrategia que te permita calcular el número de caminos de A a cada uno de los puntos B1, B2, B3, B4, B5, …  ¿Cuántos caminos hay de A a B6?
d) Para cualquier número natural n ¿cómo se calcularía el número de caminos que hay desde A hasta Bn?

Solución

Problema 3: El juego de las piedras

 Se trata de un juego para dos jugadores, Ana y Pedro. Para jugar sólo se necesitan unas cuantas piedras.

Las reglas son muy sencillas: Cada jugador, en su turno puede coger 1 ó 2 piedras. Gana el jugador que retira la última piedra que, evidentemente, puede ir acompañada.

Se pide:

a) Si hay 5 piedras, encuentra un modo de jugar de Ana de manera que si es la primera jugadora en retirar piedras, esté segura de ganar.
b) Si hay 20 piedras, encuentra un modo de jugar de Ana de manera que si ella es la primera jugadora en retirar piedras, esté segura de ganar.
c) ¿Qué pasa si en el montón, al comenzar a jugar, hay veintiuna piedras? ¿Y si hay veintidós? ¿Y si, en general, hay un número cualquiera?
d) ¿Qué pasa si en el montón hay veinte piedras pero en vez de retirar sólo una o dos, se pueden coger una, dos o tres?

Solución

Problema 2: Las partidas

Tres amigos A, B y C acuerdan jugar un torneo de tres partidas de dados de forma que, cuando uno pierda, entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno posea en ese momento. Se sabe además que cada uno perdió una partida en el orden siguiente: primero perdió el jugador A, luego lo hizo el jugador B y, finalmente, el jugador C.

Un ejemplo de cómo podría haberse desarrollado la partida se muestra en la siguiente tabla:

 Cantidad de euros del
JUGADOR A
 Cantidad de euros del
JUGADOR B
 Cantidad de euros del
JUGADOR C
Inicio de la Partida 70 40 20
Después de que
pierda el jugador A
 10 80 40
Después de que
pierda el jugador B
40 60 30
Después de que pierda el jugador C 40 60 30
a) Completa en la siguiente tabla las situaciones que se tendrían después de cada partida, en este otro supuesto de dinero inicial.
 Cantidad de euros del
JUGADOR A
 Cantidad de euros del
JUGADOR B
 Cantidad de euros del
JUGADOR C
Inicio de la Partida 60 30 20
Después de que
pierda el jugador A
Después de que
pierda el jugador B
Después de que pierda el jugador C

Con las mismas condiciones de orden de pérdida de cada partida responde a los siguientes partados:
b) Se sabe que al final del torneo cada uno tenía 24 €, ¿cuánto dinero tenía cada jugador al comienzo?
c) Se conoce que en otro torneo de las mismas características, el jugador C comenzó con 20 y al final acabaron todos con la misma cantidad de dinero ¿cuánto tenía cada jugador al comienzo y con cuánto acabaron?
d) En otro torneo sucedió que se tuvo que suspender en la tercera partida ya que el jugador C no pudo hacer frente a los pagos correspondientes. Describe esta situación con un ejemplo.
e) Dicen que en una ocasión acabaron todos con la misma cantidad de dinero con la que comenzaron. ¿Es posible que se dé esta situación? Justifica la respuesta y, en caso afirmativo, pon un ejemplo que lo ilustre.

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Problema 1: Cubo cortado

Cubo

a) Uniendo los puntos medios de las aristas de un cubo, como se ve en la figura, se obtiene una pirámide triangular por cada vértice. Quitando estas pirámides ¿qué polígonos forman las caras del cuerpo que resulta? ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene? Describe cómo has llegado a los resultados.
 Cubo
b) Ahora vamos a hacer una variación sobre el problema anterior.
En vez de tomar los puntos medios, elegimos los puntos sobre las aristas situados a un tercio de distancia de los vértices, resultando, al unirlos, unas pirámides más pequeñas y que no se tocan entre ellas. Si recortamos estas pirámides ¿qué polígonos forman ahora las caras del cuerpo resultante? ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene? Describe cómo has obtenido las respuestas.
Prisma
c) Si en vez de un cubo consideramos el prisma hexagonal regular de la figura (las bases son hexágonos regulares) y procedemos como en el apartado a) ¿qué polígonos forman en este caso las caras del cuerpo resultante? ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene? Describe cómo has llegado al resultado

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