Category Archives: Razonamiento matemático: Probabilidad

Probabilidad al desplazar un punto con tiradas de monedas

Se considera un punto sobre una recta y a cada lanzamiento de una moneda se le desplaza un cm. a la derecha si se obtiene cara, dos cm. a la izquierda si se obtiene cruz. Determina la probabilidad de que después de 20 lanzamientos el punto se halle 2 cm. a la derecha de la posición inicial.

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22 bolas en la urna

En una urna hay dos bolas, una blanca y otra negra. Se saca una bola y se devuelve a la urna acompañada de otra del mismo color. Continuando del mismo modo, se llegará a tener en la urna 22 bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que en ese momento 11 sean blancas y 11 negras?

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Solución

Un suceso favorable a nuestra situación de 11 blancas y 11 negras podría ser que las primeras 10 extracciones fuesen blancas y 10 siguientes negras. La probabilidad de que ocurra esté suceso es:

{tex}\frac{(1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 9 \cdot 10 )\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 9 \cdot 10 )}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot ...\cdot 19\cdot 20\cdot 21}{/tex}

Igualmente, la probabilidad de haber extraído bolas blancas en 10 extracciones fijas y 10 bolas negras en las restantes es la misma, ya que su cálculo sólo es una variación en los productos del numerador de la expresión anterior. Por ello, la probabilidad pedida es:

{tex}\binom{20}{10}\frac{10!\cdot 10!}{21!}=\frac{1}{21}{/tex}

 

Juego de cartas con reemplazamiento

Alejandro, Borja, Nacho y Gonzalo eligen sucesivamente, en este orden, una carta de una baraja española de 40 cartas, tras mirarla la devuelven a la baraja antes de que el siguiente elija otra. Gana el primero que saque espadas. ¿Cuáles son las probabilidades de cada uno de ganar?

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Solución

La probabilidad de que gane Borja pasa por ver todas las posibles situaciones que se pueden dar. Podría pasar que Borja ganase nada más sacar la primera carta o que perdiesen todos en la primera ronda y Borja ganase al comenzar la segunda, o que todos perdiesen las tres primeras rondas y Borja ganase la cuarta y así hasta el infinito. Sabemos que la probabilidad de sacar espadas es 1/4 y la de no sacarla, 3/4.

Por tanto, la probabilidad de que gane Borja es:

{tex}\frac{1}{4}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{4}\cdot \frac{1}{4}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{8}\cdot \frac{1}{4}+\cdots=\frac{\frac{1}{4}}{1-\left ( \frac{3}{4} \right )^{4}}=\frac{64}{175}{/tex}

Esta suma infinita no es más que la suma infinita de los términos de una progresión geométrica de razón (3/4)4.

De forma análoga se obtienen el resto de probabilidades.

La probabilidad de que gane Nacho es:

{tex}\left ( \frac{3}{4} \right )\cdot \frac{1}{4}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{5}\cdot \frac{1}{4}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{9}\cdot \frac{1}{4}+\cdots=\frac{3}{4}\cdot \frac{\frac{1}{4}}{1-\left ( \frac{3}{4} \right )^{4}}=\frac{48}{175}{/tex}

pues para que gane Nacho en primera ronda debe perder antes Borja o para que gane en segunda ronda deben perder todos en primera y Borja en segundo y así hasta el infinito.

Análogamente, las probabilidades de que ganen Nacho y Gonzalo son «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»36«/mn»«mn»175«/mn»«/mfrac»«/math» y «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»27«/mn»«mn»175«/mn»«/mfrac»«/math», respectivamente.

El mismo día el cumpleaños

¿Cuántas personas han de estar reunidas para poder asegurar que la probabilidad de que entre ellas se encuentren dos que celebren el mismo día su cumpleaños sea 1/2?

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Solución

Supongamos reunidas n personas.

Definimos el suceso Hi="La persona i tenga su día de cumpleaños en día diferente a las personas i+1 hasta n", con i=1,2,3,...n-1.</p> <p>Entonces</p> <p>{tex}p=P(H_{1}\cap H_{2}...\cap H_{n} )={/tex}</p> <p>{tex}P(H_{1})\cdot  P(H_{2}/H_{1}) \cdot  P(H_{3}/H_{1}\cap\cdot H_{2}) \cdots P(H_{n}/H_{1}\cap\cdots H_{n-1}){/tex}</p> <p>{tex}p=\left (\frac{365-1}{365}  \right )^{n-1} \cdot  \left (\frac{365-2}{365-1}  \right )^{n-2} \cdots \left (\frac{365-(n-1)}{365-(n-2)}  \right )^{1}  {/tex}</p> <p>Hay que hallar n tal que {tex}p\leq \frac{1}{2}{/tex}</p> <p>Usando la expresión anterior, aprovechando que cada factor de p es mayor que el siguiente, el n buscado cumple que</p> <p>{tex}\left (\frac{364}{365}  \right )^{n-1} \cdot  \left (\frac{364}{365}  \right )^{n-2} \cdots \left (\frac{364}{365}  \right )^{1} \leq \frac{1}{2}  {/tex}</p> <p>Sumando las potencias quedaría</p> <p>{tex}\left ( \frac{364}{365} \right )^{\frac{n\cdot (n-1) }{2}}{/tex}</p> <p>Aplicando logaritmos neperianos</p> <p>{tex}\frac{n \cdot (n-1)}{2}\ln \left (\frac{364}{365}  \right ) \leq \ln\left ( \frac{1}{2} \right ){/tex}</p> <p>{tex}n\cdot (n-1)\geq 505.303978{/tex}</p> <p>Por lo que n debe ser mayor o igual que 23.</p> <p>Faltaría ver si realmente es el valor mínimo buscado, ya que en un principio establecimos una cota. Para ello, se debe usar la expresión de "p" y probar con n=22. Se puede comprobar que supera a 1/2.

 

Dos sotas seguidas

¿Qué probabilidad hay de que al extender en una sola fila las 40 cartas de una baraja española queden al menos dos sotas seguidas?

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